Lösung mittels Substitutionsmethode — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Die Gleichungen der Art

f (\log_{a} x) = 0

löst man mit Hilfe der Substitution

t = \log_{a} x

, die Gleichung wird also in die Form

f (t) = 0

gebracht.

Ist \(t\) die Lösung der Gleichung

f (t) = 0

, dann kann man die Lösung der Ausgangsgleichung mittels

x = a^{t}

finden..

Beispiel:

Löse die Gleichung

\log_{2}^{2} (x + 4) = 2 \log_{2} (x + 4) + 3

Die Lösung:

\begin{array}{l} \log_{2}^{2} (x + 4) = 2 \log_{2} (x + 4) + 3 \\ \log_{2} (x + 4) = t \\ t^{2} - 2 t - 3 = 0 \\ \{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 2 \\ t_{1} \cdot t_{2} = - 3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t_{1} = - 1 \\ t = 3 \end{cases} \\ \begin{matrix} \begin{array}{l} \log_{2} (x + 4) = - 1 \\ \begin{array}{l} 2^{- 1} = x + 4 \\ 0,5 = x + 4 \\ 0,5 - 4 = x \end{array} \\ \underline{\underline{x = - 3,5}} \end{array} & \begin{array}{l} \log_{2} (x + 4) = 3 \\ \begin{array}{l} 2^{3} = x + 4 \\ 8 = x + 4 \\ 8 - 4 = x \end{array} \\ \underline{\underline{x = 4}} \end{array} \end{matrix} \end{array}

Der Bereich der erlaubten Werte:

\begin{array}{l} x + 4 > 0 \\ x > - 4 \\ x \in (- 4 \in; + \infty) \end{array}

Beide Lösungen \(x=-3,5\) und \(x=4\) gehören zum Definitionsbereich.

Beispiel:

Löse die Gleichung

{2log}_{4}^{2} x - 5 \log_{4} x = - 2

Umformen:

{2log}_{4}^{2} x - 5 \log_{4} x + 2 = 0

Bezeichnen wir

\log_{4} x = t

, so erhalten wir die Gleichung

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0

Die Lösungen dieser Gleichung sind

t_{1} = \frac{1}{2}, t_{2} = 2

Aus der Gleichung

\log_{4} x = \frac{1}{2}

finden wir, dass

x = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2

und aus der Gleichung

\log_{4} x = 2

folgt, dass

x = 4^{2}

, d.h. \(x=16\).

Beide Lösungen gehören zum Definitionsbereich \(x>0\).

Beispiel:

Finde die Lösung der Gleichung

\log_{x} (6 - x) = 2

Der Bereich der erlaubten Werte ist:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} - x > - 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ x \in (0; 1) \cup (1; 6) \end{array}

Führen wir eine neue Variable ein:

\begin{array}{l} 6 - x = t \\ \log_{x} t = 2 \\ x^{2} = t \end{array}

Rücksubstitution ergibt:

\begin{array}{l} x^{2} = 6 - x \\ x^{2} + x - 6 = 0 \\ x_{1} = - 3, x_{2} = 2 \end{array}

Die erste Lösung gehört nicht zum Definitionsbereich, und das bedeutet, dass die einzige Lösung \(x=2\) ist.

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3. Lösung mittels Substitutionsmethode