Exponentialungleichungen — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Eine Exponentialungleichung ist eine Ungleichung der Form

a^{f (x)} > a^{g (x)}

wobei

a

\(\neq 1\) eine positive Zahl ist.

Die Ungleichungen werden mit Hilfe der Monotonie-/Wachstumseigenschaften der Exponentialfunktion gelöst:

- bei einer wachsenden Funktion entspricht einem größeren Funktionswert der größere Argumentwert,

- bei einer fallenden Funktion entspricht einem größeren Funktionswert der kleinere Argumentwert.

Die Exponentialfunktion

y = a^{x}

wächst für

a > 1

und fällt für

0 < a < 1

Die Exponentialungleichung

a^{f (x)} > a^{g (x)}

entspricht der Ungleichung

f (x) > g (x)

, wenn

a > 1

Beispiel:

Lösen wir die Ungleichung:

2^{2 x - 4} > 64

Wir können das auch schreiben als

2^{2 x - 4} > 2^{6}

Diese Ungleichung entspricht der Ungleichung

2 x - 4 > 6

, da die Basis \(2>1\) ist.

Also erhalten wir

x > 5

Die Exponentialungleichung

a^{f (x)} > a^{g (x)}

entspricht der umgekehrten Ungleichung

f (x) < g (x)

, wenn

0 < a < 1

Beispiel:

Lösen wir die Ungleichung

{(\frac{1}{3})}^{2 x - 3,5} < \frac{1}{\sqrt{3}}

Es gilt

\frac{1}{\sqrt{3}} = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}

, also schreiben wir die Ungleichung um zu

{(\frac{1}{3})}^{2 x - 3,5} < {(\frac{1}{3})}^{0,5}

Hier ist Basis

0 < \frac{1}{3} < 1 .

Das bedeutet, die Ungleichung entspricht der umgekehrten Ungleichung

2 x - 3,5 > 0,5

und wir finden, dass

x > 2

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