Substitution — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Substitutionsmethode:

Die Substitutionsmethode wird bei komplizierteren Beispielen angewendet.

Exponentialgleichungen kann man mittels Einführung neuer Variablen, die aus den alten hervorgehen, lösen. Nach Einsetzen der neuen Variablen in die Ausgangsgleichung, erhalten wir eine einfachere Gleichung, die gelöst werden kann, danach werden die alten Variablen wieder zurück eingesetzt und wir erhalten die Lösungen der Ausgangsgleichung.

Beispiel:

Lösen der Gleichung

9^{x} - 4 \cdot 3^{x} - 45 = 0

Indem wir definieren, dass

3^{x} = t

, wird die Gleichung zu einer quadratischen Gleichung

t^{2} - 4 t - 45 = 0

Lösungen dieser Gleichung sind

t_{1} = 9, t_{2} = - 5

. Für diese gilt

3^{x} = 9, 3^{x} = - 5

Die Gleichung

3^{x} = 9

hat die Lösung

x = 2

, die Gleichung

3^{x} = - 5

hat keine Lösungen, da die Exponentialfunktion keine negativen Werte annehmen kann. Also ist die einzige Lösung der Ausgangsgleichung

x = 2 .

Beispiel:

Lösen der Gleichung $4^{x} + 2^{x + 1} - 24 = 0$ :

Es ist $4^{x} = {(2^{2})}^{x} = 2^{2 x} = {(2^{x})}^{2}$ , und $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ ,

dann können wir die Gleichung in die Form ${(2^{x})}^{2} + 2 \cdot 2^{x} - 24 = 0$ bringen.

Führen wir nun eine neue Variable ein,

y = 2^{x}

, dann wird die Gleichung zu

y^{2} + 2 y - 24 = 0

. Diese Gleichung hat die Lösungen

y_{1} = 4, y_{2} = - 6

Da $y = 2^{x}$ , folgt, dass $2^{x} = 4; 2^{x} = - 6$ .

Aus der ersten Gleichung finden wir $x = 2$ , die zweite Gleichung hat keine Lösungen, da immer gilt, dass $2^{x} > 0$ ist.

Die einzige Lösung der Ausgangsgleichung ist also $x = 2$ .

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