Die Exponentialfunktion, ihr Graph und ihre Eigenschaften — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

In der Praxis werden oft Funktionen wie zum Beispiel

y = 2^{x}, y = 10^{x}, y = {(\frac{1}{2})}^{x}, y = {(0,1)}^{x}, ...

benötigt, also Funktionen der Form

y = a^{x}

, wobei

a

eine fixe vorgegebene Zahl ist und

x

die Variable (man kann beliebige reelle Zahlen einsetzen). Solche Funktionen nennt man exponentielle Funktionen (Exponentialfunktionen).

Eine Funktion, die durch die Formel

y = a^{x}

(wobei

a > 0, a \neq 1

) gegeben ist, nennt man exponentielle Funktion zur Basis

a

Exponentialfunktionen sind in den Naturwissenschaften, wie z.B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, von großer Bedeutung.

Eigenschaften:

Fassen wir die Grundeigenschaften einer Exponentialfunktion zusammen:

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.
Der Wertebereich umfasst alle positiven reellen Zahlen.
Falls $a > 1$ , ist die Funktion streng monoton wachsend; für $0 < a < 1$ ist sie streng monoton fallend. Also:
$a^{x_{1}} < a^{x^{2}}$ , wenn $x_{1} < x_{2}, (a > 1)$ ,
$a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$ , wenn $x_{1} < x_{2}, (0 < a < 1)$ .
Für beliebige reelle Werte $x$ und $y$ gilt:
$\begin{array}{l} a^{x} a^{y} = a^{x + y}, \\ \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}, \\ {(ab)}^{x} = a^{x} b^{x}, \\ {(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}, \\ {(a^{x})}^{y} = a^{xy} . \end{array}$