Theorie:
Mithilfe des Logarithmus können wir auch wesentlich allgemeinere Exponentialgleichungen lösen, als bisher. Nun müssen wir nicht mehr nach gemeinsamen Basen oder Exponenten suchen.
Beispiel:
Betrachten wir die Exponentialgleichung
\(2^x ) = 3^{2x+1} \;.\)
Indem wir auf beiden Seiten den Logarithmus bilden (wir lassen die Basis erst einmal offen) erhalten wir
\( \log 2^x = \log 3^{2x+1} \)
\(x \log 2 = (2x+1) \log 3\)
\(x \log 2 - 2x \log 3 = \log 3\)
\(x\cdot (\log 2 - 2 \log 3) = \log 3\)
\(x = \frac{\log 3}{\log 2 - 2\log 3}\)
Nun können wir eine beliebige Logarithmusbasis wählen (natürlich hätten wir das auch schon vorher tun können) und erhalten
\(x = \)−0,73042\(...\)
\(2^x ) = 3^{2x+1} \;.\)
Indem wir auf beiden Seiten den Logarithmus bilden (wir lassen die Basis erst einmal offen) erhalten wir
\( \log 2^x = \log 3^{2x+1} \)
\(x \log 2 = (2x+1) \log 3\)
\(x \log 2 - 2x \log 3 = \log 3\)
\(x\cdot (\log 2 - 2 \log 3) = \log 3\)
\(x = \frac{\log 3}{\log 2 - 2\log 3}\)
Nun können wir eine beliebige Logarithmusbasis wählen (natürlich hätten wir das auch schon vorher tun können) und erhalten
\(x = \)−0,73042\(...\)
Auf diese Art können verschiedenste Exponentialgleichungen gelöst werden.
Wir gehen dabei in folgenden Schritten vor:
- Umformen der Gleichung, sodass auf jeder Seite nur ein Term steht (es dürfen also keine Additionen oder Subtraktionen mehr vorhanden sein).
- Logarithmieren (die Basis kann dabei beliebig gewählt werden)
- Lösen der Gleichung mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen
Besonders hilfreich ist es, die Basis des Logarithmus so zu wählen, dass möglichst viele Logarithmen von vornherein wegfallen.
Beispiel:
Wir lösen die Gleichung
\(3\cdot e^{7 x} - 4\cdot 5^{x^2 + 1} = 0 . \)
Zunächst bringen wir die Exponentialfunktionen auf unterschiedliche Seiten:
\(3\cdot e^{7x} = 4\cdot 5^{x^2 + 1}\)
Nun logarithmieren wir. Am besten wählen wir die Basis \(e\) oder \(5\), da so einige Terme wegfallen. Hier entscheiden wir uns für den natürlichen Logarithmus (also die Basis \(e\)):
\(\ln (3\cdot e^{7x}) = \ln(4\cdot 5^{x^2 + 1})\)
\(\ln 3 + \ln(e^{7x} = \ln 4 + \ln (5^{x^2 + 1})\)
\(\ln 3 + 7x = \ln 4 + (x^2 + 1) \ln 5\)
Das ist eine quadratische Gleichung in \(x\). Um sie zu lösen bringen wir sie in die Normalform und benutzen die kleine Lösungsformel.
\(x^2 - \frac{7}{\ln 5} x + (\ln4 + \ln 5 - \ln 3) = 0\)
\(x_{1, 2} = \frac{7}{2 \ln 5} \pm \sqrt{\left(\frac{7}{2\ln 5}\right)^2 - (\ln4 + \ln 5 - \ln 3)}\).
Mithilfe des Taschenrechners erhalten wir
\(x_{1, 2} = \)2,175\(\pm \sqrt{2,83207}\)
und somit
\(x_1 = \)0,492 und
\(x_2 = \)3,858.
\(3\cdot e^{7 x} - 4\cdot 5^{x^2 + 1} = 0 . \)
Zunächst bringen wir die Exponentialfunktionen auf unterschiedliche Seiten:
\(3\cdot e^{7x} = 4\cdot 5^{x^2 + 1}\)
Nun logarithmieren wir. Am besten wählen wir die Basis \(e\) oder \(5\), da so einige Terme wegfallen. Hier entscheiden wir uns für den natürlichen Logarithmus (also die Basis \(e\)):
\(\ln (3\cdot e^{7x}) = \ln(4\cdot 5^{x^2 + 1})\)
\(\ln 3 + \ln(e^{7x} = \ln 4 + \ln (5^{x^2 + 1})\)
\(\ln 3 + 7x = \ln 4 + (x^2 + 1) \ln 5\)
Das ist eine quadratische Gleichung in \(x\). Um sie zu lösen bringen wir sie in die Normalform und benutzen die kleine Lösungsformel.
\(x^2 - \frac{7}{\ln 5} x + (\ln4 + \ln 5 - \ln 3) = 0\)
\(x_{1, 2} = \frac{7}{2 \ln 5} \pm \sqrt{\left(\frac{7}{2\ln 5}\right)^2 - (\ln4 + \ln 5 - \ln 3)}\).
Mithilfe des Taschenrechners erhalten wir
\(x_{1, 2} = \)2,175\(\pm \sqrt{2,83207}\)
und somit
\(x_1 = \)0,492 und
\(x_2 = \)3,858.