9. Baumwachstum

 

An einem gefällten Baum kann anhand der Jahresringe der jeweilige Umfang des Baumstamms zu einem bestimmten Baumalter ermittelt werden. Die Untersuchung eines Baumes ergab folgende Zusammenhänge zwischen Alter und Umfang:

 

 

 

Der Zusammenhang zwischen Alter und Umfang kann durch eine Wachstumsfunktion \(u\) beschrieben werden, wobei der Wert \(u(t)\) den Umfang zum Zeitpunkt \(t\) angibt. In der nachstehenden Graphik sind die gemessenen Werte und der Graph der Wachstumsfunktion \(u\) veranschaulicht.  

 

 

Aufgabenstellung: 

a) Innerhalb der ersten \(50\) Jahre wird eine exponentielle Zunahme des Umfangs angenommen. Ermitteln Sie aus den Werten der Tabelle für \(25\) und \(50\) Jahre eine Wachstumsfunktion für diesen Zeitraum!  (Runden Sie den Koeffizienten auf drei Nachkommastelle, die Basis bzw. die Wachstumsrate auf fünf Nachkommastellen)

 

 

Begründen Sie mittels einer Rechnung, warum dieses Modell für die darauffolgenden \(25\) Jahre nicht mehr gilt! 

 

Es ist   $f(75)=i$ (runden Sie auf fünf Nachkommastellen). Dieser Wert weicht signifikant vom gemessenen Wert ab. entsricht dem gemesenen Wert.hängt mit dem gemesenen Wert zusammen.

 

b) Berechnen Sie den Differenzenquotienten im Zeitintervall von  75 bis 125 Jahren! Geben Sie an, was dieser Wert über das Wachstum des Baumes aussagt!  

 

Der Differenzenquotient ist  und gibt die durchschnittliche Zunahme pro Jahr im gegebenen Zeitintervall die momentane Zunahme die maximale Zunahme im gegebenen Zeitintervall die minimale Zunahme im gegebenen Zeitintervall  an.

Erläutern Sie, was die \(1\). Ableitungsfunktion \(u'\) im gegebenen Zusammenhang beschreibt!  

 

Sie beschreibt die momentane Wachstumsratedie minimale Zunahme im gegebenen Zeitintervall die maximale Zunahme im gegebenen Zeitintervall die durchschnittliche Zunahme pro Jahr im gegebenen Zeitintervall .

c) Geben Sie den Namen des charakteristischen Punktes des Graphen der Funktion an, der den Zeitpunkt, zu dem der Umfang des Baumes am schnellsten zugenommen hat, bestimmt!

Beschreiben Sie, wie dieser Zeitpunkt rechnerisch ermittelt werden kann, wenn die Wachstumsfunktion \(u\) bekannt ist!   
  

 

Der charakteristische Punkt ist das Maximumder Wendepunktdas Minimumeine Nullstelle der Funktion. Er ist die Nullstelle der 1. Ableitung der Funktiondie Nullstelle der Funktiondie Nullstelle der 2. Ableitung der Funktion.

d) Die beiden Wachstumsfunktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(t) = a q^t\) und \(g(t) = b e^{k·t}\) beschreiben denselben Wachstumsprozess, sodass \(f(t) = g(t)\) für alle \(t\) gelten muss. Geben Sie die Zusammenhänge zwischen den Parametern \(a\) und \(b\) beziehungsweise \(q\) und \(k\) jeweils in Form einer Gleichung an!

  
Geben Sie an, welche Werte die Parameter \(q\) und \(k\) annehmen können, wenn die Funktionen \(f\) und \(g\) im Zusammenhang mit einer exponentiellen Abnahme verwendet werden!

 

 

Es ist