Theorie:
Wir haben anhand eines Gedankenexperimentes mit Lichtuhren festgestellt, dass die Zeit in bewegten Inertialsystemen langsamer vergeht. Wir haben dazu eine ruhende Lichtuhr im System \(S\) und eine dazu gleichförmig bewegte (System \(S'\)) benutzt:
Betrachten wir nun die Zeit, die zwischen zwei Klicks der bewegten Uhr vergeht.
Aus dem System \(S'\) betrachtet, befindet sich die Uhr in Ruhe. Die verstrichene Zeit entspricht daher einfach dem Auf- und Abwärtsweg des Lichtes, also
\(t'=\frac{2 h}{c}\)
wobei \(2h\) die zurückgelegte Strecke und \(c\) die Lichtgeschwindigkeit ist.
Aus dem System \(S\) betrachtet, sieht das etwas anders aus: hier kommt die horizontale Bewegung der Uhr hinzu. Die vom Licht zurückgelegte Strecke kann daher mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden (grünes Dreieck in der Skizze):
\(\left(\frac{s}{2}\right)^2 = x^2+h^2 \) und
\(s^2=4 \left(x^2+h^2\right)\).
Nennen wir die Geschwindigkeit, mit der sich die Uhr bewegt, \(v\), so erhalten wir
\(2 x = v t\),
da die Uhr innerhalb eines Klicks die Strecke \(2 x\) zurücklegt. Durch Einsetzen in die vorige Formel bekommen wir also
\(s^2 = 4\left(\left(\frac{v t}{2}\right)^2+h^2\right)\)
und
\(t^2 = \left(\frac{s}{c}\right)^2 = \frac{4\left(\left(\frac{v t}{2}\right)^2+h^2\right)}{c^2} = \frac{v^2 t^2}{c^2} + \frac{4 h^2}{c^2} \)
Wir bemerken, dass der letzte Term genau \(t'^2\) ist und ersetzen:
\(t^2 = \frac{v^2 t^2}{c^2} + t'^2\)
\(t^2 - \frac{v^2 t^2}{c^2} = t'^2\)
\(t'^2 = t^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\)
und schließlich
\(t' = t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\).
Mit dieser Formel lässt sich die Zeitdilatation eines bewegten Systems bei gegebener Geschwindigkeit berechnen.
Das bedeutet:
In bewegten Systemen vergeht die Zeit um den Faktor \(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\) langsamer, d.h.
\(t' = t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
wobei \(c\) die Lichtgeschwindigkeit und \(v\) die Bewegungsgeschwindigkeit des Systems zum Beobachtungssystem ist.
Wichtig!
Auch wenn die Zeit im bewegten System \(t'\) und die Zeit im Ruhesystem \(t\) zunächst sehr eindeutig klingen, sind sie leicht zu verwechseln:
- Während im System \(S\) die Zeit \(t\) vergeht, vergeht im System \(S'\) die Zeit \(t'\). Aber:
- Ein Prozess, der in Ruhe die Zeit \(t'\) benötigt, hat aus Sicht eines bewegten Systems die Dauer \(t\).
- Während im System \(S\) die Zeit \(t\) vergeht, vergeht im System \(S'\) die Zeit \(t'\). Aber:
- Ein Prozess, der in Ruhe die Zeit \(t'\) benötigt, hat aus Sicht eines bewegten Systems die Dauer \(t\).
Daher wird häufig auch eine andere Schreibweise für die Zeitdilatation benutzt:
\(T = T_0 \gamma = \frac{T_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\).