Theorie:
Beispiel:
Ein Pendel, das sich mit einer Geschwindigkeit von \(200 000 km/s\) bewegt, hat eine Schwingungsdauer von 3,5 Sekunden. Wie schnell schwingt es in seinem Ruhesystem?
Mit der Formel für die Zeitdilatation erhalten wir
\(t' = t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
\(t' = 2,607 s\)
Plausibilitätsüberlegung: Da sich das Pendel bewegt, muss in seinem System die Zeit langsamer vergehen. Die Schwingungsdauer muss im Ruhesystem also kleiner sein, als im bewegten. Unser Ergebnis ist also sinnvoll.
Mit der Formel für die Zeitdilatation erhalten wir
\(t' = t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
\(t' = 2,607 s\)
Plausibilitätsüberlegung: Da sich das Pendel bewegt, muss in seinem System die Zeit langsamer vergehen. Die Schwingungsdauer muss im Ruhesystem also kleiner sein, als im bewegten. Unser Ergebnis ist also sinnvoll.
Im relativistischen Bereich werden Geschwindigkeiten oft in Anteilen der Lichtgeschwindigkeit angegeben. Das hilft nicht nur in der Vorstellung relativistischer Effekte, sondern auch in deren Berechnung, da die Lichtgeschwindigkeit meist gekürzt werden kann:
Beispiel:
Eine Uhr tickt jede Sekunde. Wie schnell tickt sie aus Sicht eines mit \(99 \%\) Lichtgeschwindigkeit bewegten Systems?
Wir benutzen die Zeitdilatationsformel:
\(t' = t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
Zwischen zwei Ticks vergeht im bewegten System (im System der Uhr) \(t' = 1s\). Wir formen also nach \(t\) um:
\(t = \frac{t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
Da wir die Geschwindigkeit als Anteil der Lichtgeschwindigkeit gegeben haben, formen wir den Geschwindigkeitsbruch um:
\(\frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{v}{c}\right)^2 = \left(\frac{0,99 \cdot c}{c}\right)^2 = (0,99)^2\)
mit \(v = 0,99 \cdot c\) laut Angabe.
\(t = \frac{1 s}{\sqrt{1-0,99^2}} = \frac{1 s}{\sqrt{1-0,9801}} = \frac{1 s}{\sqrt{0,0199}}\)
\(t = \frac{1 s}{0,14106...} = 7,088 s\)
Überlegung: Da sich aus dieser Sicht die Uhr bewegt, muss sie langsamer ticken. Unser Ergebnis, demzufolge die Uhr ca. alle 7 Sekunden tickt, ist daher plausibel.
Überlegung: Da sich aus dieser Sicht die Uhr bewegt, muss sie langsamer ticken. Unser Ergebnis, demzufolge die Uhr ca. alle 7 Sekunden tickt, ist daher plausibel.