11. Kostenfunktion

Im Zuge einer betriebswirtschaftlichen Analyse und Beratung werden bei zwei Firmen die Kostenverläufe in Abhängigkeit von der Produktionsmenge untersucht. 

Bei Firma \(A\) wird der Zusammenhang zwischen der monatlichen Produktionsmenge \(x\) (in Mengeneinheiten \([ME]\)) und den entstehenden Produktionskosten \(K_A(x)\) (in Geldeinheiten \([GE]\)) durch die Kostenfunktion \(K_A\) mit \(K_A(x) = 0,015 x^3 – 2 x^2 + 233 x + 36171\) beschrieben. Firma \(A\) kann monatlich maximal 382 \(ME\) produzieren.

 

 

Bei Firma \(B\) wird der Zusammenhang zwischen der monatlichen Produktionsmenge \(x\) (in \(ME\)) und den entstehenden Produktionskosten \(K_B(x)\) (in \(GE\)) durch die Kostenfunktion \(K_B\) mit \(K_B(x) =  0,8 x^2+ 118 x + 17464\) beschrieben. Firma \(B\) kann monatlich maximal \( 410 ME\) produzieren.

 

Aufgabenstellung: 

a) Untersuchen Sie, ob der Kostenverlauf bei Firma \(B\) progressiv oder degressiv ist! Begründen Sie Ihre Antwort! 

 

Der Kostenverlauf ist progressivweder progressiv noch regressivregressiv, da die zweite Ableitung negativ ist.verschwindet.positiv ist.

 

Allgemein kann eine solche Kostenfunktion in Abhängigkeit von den produzierten Mengeneinheiten durch eine Polynomfunktion \(f\) zweiten Grades mit  \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a, b, c ∈ \mathbb{R}, a ≠ 0\)) beschrieben werden.  Für welche Werte von \(a\) liegt im streng monoton wachsenden Bereich der Funktion ein progressiver bzw. ein degressiver Kostenverlauf vor? Begründen Sie Ihre Antwort!

 

Wenn \(a>0\), dann ist das Wachstum  progressivweder progressiv noch regressivregressiv, da der Graph der Funktion konstantrechtsgekrümmtlinksgekrümmt ist.

b) Die erste Ableitung einer Kostenfunktion bezeichnet man als Grenzkostenfunktion. Diese beschreibt näherungsweise die Kostensteigerung, wenn der Produktionsumfang vergrößert wird.

 

Berechnen Sie, um wie viel \(GE\) sich der Wert der Grenzkostenfunktion bei einem Produktionsumfang von \(x = 40 ME\) von der tatsächlichen Änderung der Kosten bei Firma \(A\) unterscheidet, wenn der Produktionsumfang von  40 \(ME\) auf 41 \(ME\) erhöht wird! 

 

Der Wert der Grenzkostenfunktion bei einem Produktionsumfang von \(x = 40 ME\) unterscheidet sich von der tatsächlichen Änderung der Kosten bei Firma \(A\) um  \(GE\) (runden Sie auf drei Nachkommastellen).

 

Interpretieren Sie diese Aussage: „Die Funktionswerte der Grenzkostenfunktion sind immer positiv.“  im Hinblick auf den Verlauf der Kostenfunktion! 

 

Eine solche Kostenfunktion ist im angegebenen Bereich  konstantmonoton steigendmonoton fallend.

c) Für die Festlegung des Produktionsplans ist es erforderlich, die durchschnittlichen Kosten pro erzeugter \(ME\) in Abhängigkeit von der Produktionsmenge zu kennen. Die Stückkostenfunktion gibt den durchschnittlichen Preis pro erzeugter \(ME\) an.

 

Ermitteln Sie die Stückkostenfunktion \(K_B(x)\) bei Firma \(B\)! Geben Sie an, bei welcher Produktionsmenge die durchschnittlichen Stückkosten bei Firma \(B\) am kleinsten sind!  (Runden Sie den linearen Koeffizienten auf eine Nachkommastelle)

$\overline{K_B}(x)=i\cdot x+i+\frac{i}{i}$.

 

Bei ca.   produzierten \(ME\) sind die durchschnittlichen Stückkosten bei Firma \(B\) am kleinsten.