Theorie:
Die Logik ist seit über zwei Jahrtausenden eine ebenso grundlegende wie umfassende Wissenschaft. Mit ihr ist die Vorstellung verbunden, dass alle Denkvorgänge auf gewissen Gesetzmäßigkeiten beruhen, welche die Voraussetzung für jede geistige Beschäftigung überhaupt darstellen.
Definition Aussage: Eine Aussage ist jeder Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Dabei ist es irrelevant, ob sein Wahrheitswert auch wirklich festgestellt werden kann.
Aussagen sind zum Beispiel:
3 x 3 = 9 | wahre Aussage |
2 x 8 = 15 | falsche Aussage |
„Alle Menschen sind sterblich.“ | wahre Aussage |
„Die Sonne scheint.“ | wahr oder falsch |
Keine Aussagen sind zum Beispiel:
| "Gehen wir heute Schwimmen?" | Fragesatz |
| „Setz dich hin!“ | Befehlssatz |
In der Aussagenlogik können Aussagen nicht weiter zerlegt werden, es sei denn sie sind aus anderen Aussagen zusammengesetzt. Der Inhalt der Aussagen ist nicht von Interesse, das einzig Wichtige ist ihr Wahrheitswert. Wir ordnen also allen Aussagen einen Wahrheitswert zu: wahr oder falsch. Im Folgenden beschäftigen wir uns mit der Verknüpfung von Aussagen und den damit entstehenden Wahrheitswerten.
Folgende Schreibweise ist zu beachten:
- allgemeine Aussageverknüpfungen werden mit den Kleinbuchstaben a, b, c, d, … abgekürzt.
- Die Wahrheitswerte wahr und falsch werden mit w bzw. 1 und f bzw. 0 abgekürzt.
Um den Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage zu bestimmen, nutzen wir sogenannte Wahrheitstafeln. Die aussagenlogischen Verknüpfungen mit denen wir die verschiedenen Aussagen miteinander verbinden, werden Junktoren (aussagenlogische Operatoren) genannt.
Junktoren
Negation: die Negation ist die Verneinung und wird mit dem Zeichen dargestellt.
\(a\) steht also für eine Aussage, beispielsweise „Die Sonne scheint.“ Dies kann entweder wahr oder falsch sein.
Scheint die Sonne (\(a\) ist wahr), lautet die Verneinung:
„Die Sonne scheint nicht.“ oder „Es ist nicht richtig, dass die Sonne scheint.“
Scheint die Sonne nicht (\(a\) ist falsch), lautet die Verneinung:
„Die Sonne scheint nicht nicht.“ oder „Es ist nicht wahr, dass die Sonne nicht scheint“ oder „Die Sonne scheint.“
Konjunktion: die Konjunktion ist die erste zweistellige Verknüpfung und entspricht dem umgangssprachlichen „und“. Sie wird mit dem Zeichen dargestellt.
Folgende Wahrheitstafel definiert die Konjunktion:
Wir sehen also: Das Ergebnis der Konjunktion ist nur dann wahr, wenn alle Teilaussagen wahr sind.
Disjunktion: die Disjunktion entspricht dem umgangssprachlichen „oder“ (dem einschliesenden oder) und wird durch das Zeichen dargestellt.
Folgende Wahrheitstafel definiert die Disjunktion:
Die Disjunktion ist also nur dann falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind.
Antivalenz: die Antivalenz stellt das „ausschliesende oder“ dar (entweder - oder) und wird durch das Zeichen dargestellt.
Der Antivalenz wird also nur der Wahrheitswert wahr zugeordnet, wenn beide Teilaussagen verschiedene Wahrheitswerte haben.
Äquivalenz: Die entsprechende umgangssprachliche Formulierung fur die Äquivalenz lautet: „genau dann, wenn“. Als Operator wird der Doppelpfeil benutzt .
Der Äquivalenz wird nur dann der Wahrheitswert wahrzugeordnet, wenn beide Teilaussagen den gleichen Wahrheitswert besitzen (unerheblich ob wahr oder falsch).
Die Zeilenlänge einer Wahrheitstafel hängt von der Zahl der verwendeten Aussagen ab. Jeder mögliche Wahrheitswert muss in der Wahrheitstafel miteinander kombiniert werden. Das bedeutet, dass eine Wahrheitstafel mit \(3\) Aussagen schon \(8\) Zeilen lang ist, vier Aussagen erzeugen schon \(16\) Zeichen.